問題１の答え	３５６
解説	1/3
	この問題のように，同じ数ずつ増えていく「等差数列」の和を求めるときは，左図の公式を利用します。 　公式の中の「Ｎ(エヌ)」は，個数を表します。 この公式は、台形の面積の公式と似ていますから、とても覚えやすいですね。 この問題では，はじめの数が４１， おわりの数が４８， 個数は８個ですから， 　(４１＋４８)×８÷２ ＝３５６ となります。

１５３＋１５６＋１５９＋１６２＋１６５＋１６８＋１７１＋１７４＝

問題２の答え	１３０８
解説	1/2
	この問題のような，等差数列の和を求める問題では，公式を利用して解いていきます。 　台形の面積の公式と似ていますから、覚えやすいですね。 はじめが１５３，おわりが１７４， 個数が８個ですから， 　(１５３＋１７４)×８÷２ ＝１３０８ となります。

１７＋１９＋２１＋２３＋２５＋……＋５３＝

問題３の答え	６６５
解説	1/4
	等差数列の和を求める問題では，公式を利用して解いていきます。 　はじめは１７，おわりは５３ですね。 　では，個数は？ 個数は「植木算」の考えで求めることもできますが， 公式を使って求めてみましょう。 「５３」が何番目の数かを知りたいのですから， Ｎ番目の数が５３， はじめの数が１７， １７，１９，２１，…と，２ずつ増えていますから， 「増える」は「２」です。 すると，左図のような式になり，あとは逆算です。 ５３−１７＝３６ ３６÷２＝１８ １８＋１＝１９ Ｎは１９になります。 はじめが１７，おわりが５３， 個数が１９ですから， 　(はじめ＋おわり)×Ｎ÷２ ＝(１７＋５３)×１９÷２ ＝７０×１９÷２ ＝６６５ となります。

１＋３＋５＋７＋９＋１１＋１３＝　　　　×　　　　　　(　　　　には同じ数が入ります。)

問題４の答え	７
解説	1/11
	この問題には，２種類の解き方があります。 まず，「等差数列の和」の公式を利用して解く方法で解いてみます。 はじめが１，おわりが１３， Ｎ(＝個数)が７個ですから， (１＋１３)×７÷２＝４９ となります。 ４９＝□×□ ですから，□にあてはまる数は７になります。 この問題には，他の解き方があります。 １＋３＋５＋７＋９＋１１＋１３ を求めるのですから， １個，３個，…，１３個の石を並べて， 全部で何個あるかを求めることになります。 左図では，まず１個だけ並べてあります。 次に３個， 続いて５個， ７個， ９個， １１個， １３個。 これでおしまいです。 左図の並べ方をよく見ると，正方形になっていることがわかります。 正方形の１辺は７個ですから， □に入る数は７であることがわかります。 このように， 「１から始まる奇数の和」を求めるときは， 「個数×個数」で求めることができます。 このような求め方でないと解けない問題も出ますから，しっかり練習しておきましょう。

１ ２ ＋( １ ３ ＋ ２ ３ )＋( １ ４ ＋ ２ ４ ＋ ３ ４ )＋( １ ５ ＋ ２ ５ ＋ ３ ５ ＋ ４ ５ )＋…… 　　　　　　　　……＋( １ ５０ ＋ ２ ５０ ＋ ３ ５０ ＋……＋ ４９ ５０ )＝

問題５の答え	６１２ １ ２
解説	1/5
	実にむずかしそうな問題ですね。 でも、かっこの中を少しずつ計算していけば，少しずつわかってきます。 はじめのかっこの中は， １ ３ ＋ ２ ３ ＝１です。 次のかっこの中は， １ ４ ＋ ２ ４ ＋ ３ ４ ＝ １ １ ２ 　です。 次のかっこは， １ ５ ＋ ２ ５ ＋ ３ ５ ＋ ４ ５ ＝２　です。 １ ５０ ＋ ２ ５０ ＋ ３ ５０ ＋…＋ ４９ ５０ の分子は，はじめ１，おわり４９， 個数が４９個なので， (１＋４９)×４９÷２＝１２２５ ですから， １２２５ ５０ ＝ ２４ １ ２ 　になります。 　左図の計算をすることになります。 　はじめが １ ２ ， おわりが ２４ １ ２ で， １ ２ ずつ増える等差数列ですから， 個数さえわかれば，和を求めることができます。 ２４ １ ２ ＝ １ ２ ＋ １ ２ ×(Ｎ−１) の逆算をして，個数は４９個。 　( １ ２ ＋ ２４ １ ２ )×４９÷２ ＝ ６１２ １ ２ 　となります。

１ １×２ ＋ １ ２×３ ＋ １ ３×４ ＝

問題６の答え	３ ４
解説	1/13
	左図の計算をやってみてください。 このようになりますね。 でも、もっと簡単な計算方法があります。 分母の５と６をかけて， １ ３０ で、できあがり。 分子は１のまま， 分母はかけ算をすれば，求めることができるのです。 ただし，このような計算ができるのは， 分母が１ちがいのときだけです。 では逆に，左図のような分数を， 分数−分数 の形に直してください。 このようになりますね。 ではいよいよ，問題にチャレンジしましょう。 まず， １ １×２ を，「分数−分数」の形にします。 １ １×２ は， １ １ − １ ２ になりますね。 他の分数も，同じように直しましょう。 ここで， − １ ２ ＋ １ ２ のところに注目してください。 １ ２ をひいてから， １ ２ を加える，ということは， 何もやらないのと同じですね。 同様に， − １ ３ ＋ １ ３ も，何もやらないのと同じです。 ということは， １ １ という分数から， １ ４ という分数をひくことになりますね。 ですから，答えは ３ ４ になります。

１ １×２ ＋ １ ２×３ ＋ １ ３×４ ＋……＋ １ １０×１１ ＝

問題７の答え	１０ １１
解説	1/8
	基本はこの形です。 ５と６のように，１ちがいならば， 分数−分数 の形に直すことができるのです。 １ １×２ ならば， １ １ − １ ２ の形になります。 このようになります。 １ ２ をひいて １ ２ を 加えるというのは，何もやらないのと同じ。 １ ３ をひいて １ ３ を 加えるというのは，何もやらないのと同じ。 − １ ４ のあとには「…」が ありますが，ここに，＋ １ ４ があるはずですね。 同じようにして， ＋ １ １０ の前にも， − １ １０ があるはずです。 結局残るのは， いちばんはじめの １ １ と， いちばんさいごの− １ １１ です。 いちばんさいごは，ただの １ １１ ではなくて， − １ １１ であることに注意しましょう。 答えは １０ １１ になります。

１ ３×４ ＋ １ ４×５ ＋ １ ５×６ ＝

問題８の答え	１ ６
解説	1/6
	基本はこの形です。 ５と６のように，１ちがいならば， 分数−分数 の形に直すことができるのです。 この問題も，同じように「分数−分数」の 形に直していきます。 このようになります。 − １ ４ ＋ １ ４ は，何もやらないのと同じ。 − １ ５ ＋ １ ５ も，何もやらないのと同じ。 結局， １ ３ − １ ６ の計算をすれば良いので， 答えは １ ６ になります。

１ １２ ＋ １ ２０ ＋ １ ３０ ＋ １ ４２ ＝

問題９の答え	４ ２１
解説	1/8
	ラクな計算方法がなさそうですが，ちゃんと簡単な計算方法があります。 分母が、ただの整数ではなくて， ５×６のように，１ちがいの整数の積になっていれば， 「分数−分数」 の形に直すことができます。 １２は，３×４　の形に直すことができます。 このように，１ちがいの整数の積に直すことが大切です。 ２０は　４×５， ３０は　５×６， ４２は　６×７ のように直せば， このような形になって， いつもの問題の形になりました。 分数−分数の形にして， − １ ４ ＋ １ ４ のところは，何もやらないのと同じ。 他も同じようにして， 結局， １ ３ − １ ７ の計算をすれば良いので， 答えは ４ ２１ になります。

１ １×２×３ ＋ １ ２×３×４ ＋ １ ３×４×５ ＝

問題１０の答え	９ ４０
解説	1/9
	この問題は，かなりむずかしいです。 自分の力だけでは解き方がわからないのが当たり前です。 解説をよく読んで，解き方を覚えてしまってください。 １ ５×６ ならば， １ ５ − １ ６ という，分数−分数の形に直しましたね。 同じようにして， １ １×２×３ も， 分数−分数の形にできることを期待して， １ １×２ − １ ２×３ の形になればいいなと。 ところが， １ １×２×３ は １ ６ ， １ １×２ − １ ２×３ は ２ ６ になり， 「分数−分数」 の方が，ちょうど２倍になっています。 １ ２×３×４ と， １ ２×３ − １ ３×４ をくらべても， 「分数−分数」の方が，やはりちょうど２倍になっています。 １ ３×４×５ と １ ３×４ − １ ４×５ も， 「分数−分数」の方が，やはりちょうど２倍になっています。 ですから，左図のようになるはずです。 打ち消し合うものを消していくと，… １ １×２ − １ ４×５ を求めて，その半分が答えになります。 答えは ９ ４０ になります。