左図のような正方形ＡＢＣＤがあります。この正方形の外部の周上を，中心をＯとする半径２cmの円が転がって１周します。 (1)　円の中心Ｏが動いたあとの線の長さは何cmですか。 (2)　円が動いたあとの図形の面積は何ですか。

問題１の答え	(1)　４４．５６cm　　　　(2)　１７８．２４
解説	1/29
	円は正方形の周上を転がっていくのですから，円と正方形は必ずくっついているはずです。くっついている点のことを「接点(せってん)」といいます。 　このような問題は，円の中心と接点とを線でむすんでみると，わかりやすくなります。 　円と同時に，この線(図の点線)も動いていきます。 　正方形のかどにきたとき， 　点線の片方のはじは正方形のかどにくっついたままで， 　このように曲がっていきます。 　曲がり終わると，また… 　今度は右の方へ転がっていって， 　このように動いていきます。 　そして正方形のかどにくると，また曲がって， 　このようになり， 　結局，円の中心はこのような線をえがきます。 　えがいた線は，まっすぐな部分と曲がっている部分があり， 　まっすぐな線は， ８×４＝３２(cm)， 　まがった線は，合体させると円周になりますから， 　２×２×３.１４ ＝１２.５６(cm) です。(1)の答えは， 　３２＋１２.５６ ＝４４.５６(cm)　となります。 　次は(2)の問題です。 　円がころがっていって， 　このようにどんどん転がっていって， 　正方形のかどを曲がり， 　また，まっすぐ横に転がり， 　結局左図のような図形になります。 　左図のように，黄色い長方形４個と，赤い四分円が４個になります。 　長方形は，たてが８cmで横が４cmです。 　赤い四分円の半径は４cmですから， 　８×４×４＋４×４×３.１４ ＝１２８＋５０.２４ ＝１７８.２４() となります。 　転がっていった円の半径は２cmですが，円が動いたあとの図形の半径は４cmになります。 　まちがいやすいですから，注意しましょう。 　実は，(2)はもっと簡単な解き方があります。 「モップ」と名付けました。 　よく教室の掃除に使う，ブラシのようなものです。 　モップを，円が動いたあとのどこかに置いて， 　このようにモップを進ませていきます。 　どんどん進ませていって， 　１周したときの，モップが動いた面積を求める問題です。 　モップのはばは４cmで， 　モップは，(1)で求めた長さだけ進みましたから， [(1)をまちがっていると(2)もまちがえます。気をつけましょう。] 　はば×動いた長さ ＝４×４４.５６ ＝１７８.２４() となります。 簡単でしょ？ 　ただし，この解き方で解けるのは， 「モップがぐるっと１まわりしていること。」 「途中でくぼんでいないこと。」 というときだけです。

左図のような正方形ＡＢＣＤがあります。この正方形の内側の周上を，中心をＯとする半径２cmの円が転がって１周します。 (1)　円の中心Ｏが動いたあとの線の長さは何cmですか。 (2)　正方形の内部で，円が通らなかった部分の面積は何ですか。

問題２の答え	(1)　３２cm　　　　(2)　１９．４４
解説	1/14
	この問題は，円が正方形の内側を転がっていきます。 　外側を転がるのとは，かなりちがってきます。 　まず，円の中心と，円と正方形との接点を線で結んで考えましょう。 　円の中心は，このように動いていきます。 　かどは曲がらないで， 　このように，なめらかではなく「グキッ」と動きます。 　このように，曲がったところのない形ができます。 　正方形になっていますね。 　動いた部分の１辺は， 　１２−２×２ ＝８(cm)ですから， 　８×４ ＝３２(cm) となります。 　(2)は，円が動いた部分の面積を求める問題です。 　円がいくら転がっても，正方形のはじの四すみは通れませんね。それから，正方形のまん中あたりにも，通れない部分ができますね。(円が大きければ，まん中も通れます。) 　このように円が転がっていって， 　どんどん転がって， 　１周すると，このようになります。 　円が通れなかったのは，四すみとまん中の部分です。 　円の直径は４cmですから， 　まん中の黒い正方形の１辺は， 　１２−４×２ ＝８(cm)になり， 　四すみの部分は，合体させると， 「正方形−円」となります。 　４×４＋(４×４−２×２×３.１４) ＝１６＋(１６−１２.５６) ＝１６＋３.４４ ＝１９.４４() となります。