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□が３個集まると○１個におきかえ、○が３個集まると△１個におきかえ、△が３個集まると☆１個におきかえることにします。 (1)　８０個の□を｛☆、△、○、□｝を使って、できるだけ少ない記号で表しなさい。 (2)　☆△○○は、□が何個集まっていることを表していますか。

問題１の答え	(1)　☆☆△△○○□□　　　　(2)　４２
解説	1/13
	このような問題では、まず登場している記号を書いておきます。 そして、いちばんもとになるものを、１とします。 いま、この問題では、「□が３個集まると○、…」というように書いてあったので、□を１とします。 「１円」というように、金額にして考えた方が、意味がわかりやすくなります。 つまり、□は１円玉だとするのですね。 ○は、□が３個集まったものですから、 １×３＝３　になります。 ○は、実際にはないが、「３円玉」だとみなすわけです。 △は、○が３個集まった数で、○は３円玉だったので、 ３×３＝９　となります。 △は、９円玉なのです。 ☆は、△が３個集まった数なので、 ９×３＝２７　です。 ☆は、「２７円玉」です。 (1)の問題は、「８０個の□」と書いてありました。 □は１円玉ですから、それが８０個あると、８０円。 この金額を、できるだけ少ないコインで表す、という問題になりますね。 ８０÷２７＝２　あまり　２６ ですから、まず☆が２個と、あと２６円あまります。 余っている２６円を△で表すと、 ２６÷９＝２　あまり　８ ですから、△が２個と、あと８円。 余っている８円を○で表すと、 ８÷３＝２　あまり　２ ですから、○が２個と、あと２円。 「あと２円」というのは、□が２個ぶんです。 よって、☆が２個、△が２個、○が２個、□が２個で、８０円を表すことができます。 次は、(2)の問題です。 それぞれの記号が、何という数を表しているかを、きちんと書いておきます。 (2)は、「☆△○○」は、□が何個ぶんか、という問題です。 ☆は２７円、△は９円、○は３円ですから、このようになります。 すると、合計は４２円になります。 □は１円玉ですから、４２個あれば４２円になります。
補充問題	(　　のところにマウスを近づけると、答えが表示されます。)
	□が３個集まると○１個におきかえ、○が３個集まると△１個におきかえ、△が３個集まると☆１個におきかえることにします。 (1)　６５個の□を｛☆、△、○、□｝を使って、できるだけ少ない記号で表すと、　　　　　　　　となります。 (2)　☆△○□は、□が　　　　個集まっていることを表しています。

あるきまりにしたがって、整数を下のように表しました。 (1)　図のχが表している整数はいくつですか。 (2)　このきまりにしたがって、６７を表す図をかきなさい。

問題２の答え	(1)　３１　　　　(2)
解説	1/24
	このような問題では、まず「わく」だけの図を書きます。 そして、問題に書いてある「例」をしっかり見ていきましょう。 まず、１の例をみます。 すると、右下のワクのところが、１を表していることがわかります。 次に、「２」の例をみます。 すると、右側２つのワクがぬられていたら２であることがわかりますが、右下のワクは１を表すことがわかっているので、 このようになり、右上のワクは、 ２−１＝１ ですから、１になります。 図に、きちんと書いておきます。 次に、３の例をみます。 すると、このようになります。 ここで、右上のワクも右下のワクも１でしたから、上の段と、下の段は、同じ数を表していることが考えられます。 このようになりますね。 さらに、１９の例をみてみます。 ぬられているワクのうち、右下は１ですから、残りは １９−１＝１８。 しかも、上の段と下の段は同じ数を表しているはずなので、 １８÷２＝９ となるはずです。 ここまでの図を見ると、 いちばん右はしは１を表し、 そのすぐ左は３を表し、 そのすぐ左は、３×３＝９　を表していますから、 ３倍、３倍、…となっていることがわかります。 同じように考えると、いちばん左はしの数は、 ９×３＝２７ を表しているはずです。 上の段と下の段は同じ数のはずなので、 左上の数も、２７ですね。 このような、すべてのワクが、何という数を表しているかがわかりました。 では、(1)の問題です。 χは何という数を表しているのか、という問題です。 ぬられているワクと、数が書いてあるワクをよく見比べて、… このようになります。 次は、(2)の問題です。 ６７を表すように、ワクをぬりなさい、という問題です。 まず、左の方からぬっていきましょう。 左上と左下をぬると、 ２７×２＝５４　を表すことになります。 あと、６７−５４＝１３ だけ、残っています。 １３を表すために、「９」のワクをぬります。 ９のワクを、上下ともぬってしまったら、 ９×２＝１８ となり、オーバーしてしまいます。 ですから、下の段だけぬります。 あと、１３−９＝４ だけ、残っています。 ４を表すために、３のところをぬると、あと ４−３＝１ だけ残っていますから、 １のところをぬって、でき上がりです。
補充問題	(　　のところにマウスを近づけると、答えが表示されます。)
	あるきまりにしたがって、整数を下のように表しました。 このとき、　図のχが表している整数は　　　です。

左の(図１)、(図２)は一種のそろばんで、(図２)は(図１)が表している数に１を加えた結果を表しています。(図１)の表している数を［０１２３］、(図２)の表している数を［０１３０］と書くことにします。 (1)　(図１)の［０１２３］を１０進数で表しなさい。 (2)　１０進数の６０をこのそろばんで表したときのようすをかきなさい。 (3)　(図２)に［０２１２］をたした和を、［　　　］を使って表しなさい。

問題３の答え	(1)　２７　　　　(2)　　　　　(3)　［１００２］
解説	1/18
	図１は［０１２３］を表しています。 図２は、１の数に１を加えた結果だそうです。 でも、［０１２３］に１を加えると、ふつうなら ［０１２４］になるはずなのです。 ところが、なぜか［０１３０］になっています。 これは、 「４」になると、次の位へくり上がる、となっているのです。 つまり、４進数、というわけですね。 (1)の問題は、［０１２３］という４進数を、１０進数に直す問題です。 このような問題では、位をしっかり考えることがポイントです。 とにかく、右はしは、何進数であっても必ず１の位です。 そのすぐ左は、４進数ですから４の位。 そのまた左は、４が４個集まった数ですから、 ４×４＝１６　の位。 そのまた左は、１６が４個集まった数ですから、 １６×４＝６４　の位。 このように、４進数の場合は、位が４倍、４倍、…となっていきます。 ６４が０個、１６が１個、４が２個、１が３個集まった数ですから、このようになります。 (2)の問題は、１０進数からＮ進数に直す問題です。 このような問題では、「さかさわり算」をします。 ４進数に直すのですから、４でわっていくことになります。 まず、６０を４でわると、１５あまり０。 あまりの「０」を、しっかり書くことがポイントです。 さらに１５を４でわって、３あまり３。 図の矢印のような順に数を書いて、 「３３０」になるように図を書けばでき上がりです。 それでは、(3)の問題にむかいましょう。 (図２)は、［０１３０］を表しています。 この数に、［０２１２］を加える問題です。 １０進数に直して、たし算をしてから、また４進数に直す方法もありますが、それよりも、４進数のまま計算できた方が、かなりラクです。 このような筆算を、４進数でするのですね。 そのままたし算をすると、［０３４２］になりますが、これは正解ではありません。というのは、 ４進数の場合、４になるとくり上がりになるのですね。 ですから、 ４のところをくり上げて、このようになります。 でも、まだこれは正解ではありません。 またまた、「４」という数が出てきてしまいましたね。 ４のところを、またくり上げて、… 答えは、［１００２］になります。
補充問題	(　　のところにマウスを近づけると、答えが表示されます。)
	左の(図１)、(図２)は一種のそろばんで、(図２)は(図１)が表している数に１を加えた結果を表しています。(図１)の表している数を［０３１３］、(図２)の表している数を［０３２０］と書くことにします。 (1)　(図１)の［０３１３］を１０進数で表すと、　　　　となります。 (2)　１０進数の７０を［　　］を使って表すと、［　　　　　］になります。 (3)　(図２)に［０１２３］をたした和を、［　　　］を使って表すと、［　　　　　　］となります。