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フィボナッチ数列とは  | ||||||||||
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「フィボナッチ数列」とは，「前の２つの数を加えると次の数になる」という数列です。 ただし，１番目と２番目の数は両方とも１です。 １，１，
１＋１＝２ ですから，３番目の数は２になります。
１，１，２，
１＋２＝３ ですから，４番目の数は３です。
１，１，２，３，
５番目の数は，２＋３＝５ です。
１，１，２，３，５，
このようにしてできる数列が，「フィボナッチ数列」です。
１，１，２，３，５，８，１３，２１，３４，…
１００００番目までのフィボナッチ数列は，次のようになります。
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| フィボナッチ数列は自然界でよく出てくる | ||||||||||
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花びらの枚数，木の枝分かれ，まつぼっくりのまつかさ，ひまわりのたねの配列などに，フィボナッチ数列の数があらわれます。 そうそう，自然界ではないですが，「ダ・ビンチ・コード(上  ・中・下)」という本でも，暗号として出てきましたね。
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| フィボナッチさんてどんな人？ | ||||||||||
 １２世紀にイタリアのピサ(ピサの斜塔で有名)で生まれた数学者です。本名はレオナルドといいます。フィボナッチというのは「ボナッチさんの息子」という意味の，あだ名だそうです。分数の分子と分母を分ける横線がありますね。あれは，フィボナッチさんが考え出したそうです。 フィボナッチさんが１２０２年に書いた「算術の書」の中に出ている問題が，「フィボナッチ数列」の問題になっています。 フィボナッチさんについてくわしくは，ウィキペディアのフィボナッチへ。
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| フィボナッチ数列の性質 | ||||||||||
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「フィボナッチ数列」とは，「前の２つの数を加えると次の数になる」という数列でした。
１，１，２，３，５，８，１３，２１，３４，５５，８９，１４４，２３３，３７７，６１０，…
このフィボナッチ数列には，さまざまな性質があります。それを，これから見ていくことにしましょう。 （性質のところのリンクをクリックすると，高校生以上になるとわかる証明へ飛びます。） この数列の，１番目をＦ1，２番目をＦ2，３番目をＦ3，…とします。 つまり， Ｆ1＝１，Ｆ2＝１，Ｆ3＝２，Ｆ4＝３，Ｆ5＝５，… ということです。 性質１
Ｆ1 ＋ Ｆ2 ＋ … ＋ Ｆn ＝ Ｆn+2 − 1
たとえば，n＝７の場合，Ｆ1 ＋ Ｆ2 ＋ Ｆ3 ＋ Ｆ4 ＋ Ｆ5 ＋ Ｆ6 ＋ Ｆ7 ＝ １＋１＋２＋３＋５＋８＋１３ ＝ ３３ Ｆ9 − １ ＝ ３４−１ ＝ ３３ となり，確かに合っています。
性質２
Ｆ1 × Ｆ1 ＋ Ｆ2 × Ｆ2 ＋ … ＋ Ｆn × Ｆn ＝ Ｆn × Ｆn+1
たとえば，n＝7の場合，Ｆ1×Ｆ1 ＋ Ｆ2×Ｆ2 ＋ Ｆ3×Ｆ3 ＋ Ｆ4×Ｆ4 ＋ Ｆ5×Ｆ5 ＋ Ｆ6×Ｆ6 ＋ Ｆ7×Ｆ7 ＝ １×１＋１×１＋２×２＋３×３＋５×５＋８×８＋１３×１３ ＝ １＋１＋４＋９＋２５＋６４＋１６９ ＝ ２７３ Ｆ7 × Ｆ8 ＝ １３×２１ ＝ ２７３ となり，確かに合っています。 他にも，以下のような様々な性質があります。いろいろな数をあてはめてみて，本当に正しいのか確かめてみましょう。 性質３
Ｆ1 ＋ Ｆ3 ＋ Ｆ5 ＋ … ＋ Ｆ2n-1 ＝ Ｆ2n
性質４
Ｆ2 ＋ Ｆ4 ＋ Ｆ6 ＋ … ＋ Ｆ2n ＋ １ ＝ Ｆ2n+1
性質５
となり同士のフィボナッチ数列は互いに素である。
※↑「互いに素」とは，最大公約数が１になることです。 性質６
Ｆn+m ＝ Ｆm × Ｆn+1 ＋ Ｆm-1 × Ｆn
※↑この性質を，「フィボナッチ数列の加法定理」といいます。
性質７
nがmで割り切れるならば，ＦnはＦmで割り切れる
性質８
ＦmとＦm+nの最大公約数 ＝ ＦmとＦnの最大公約数
性質９
ＦmとＦnの最大公約数 ＝ Ｆmとnの最大公約数
性質１０
Ｆn が Ｆm で割り切れるならば，nはmで割り切れる。
性質１１
Ｆ3の倍数 ＝ 偶数
性質１２
Ｆ4の倍数 ＝ ３の倍数
性質１３
Ｆ5の倍数 ＝ ５の倍数
※↓ここからは，累乗（るいじょう）の表し方が出てきます。たとえば，５2は，５を２回かけるという意味で，５×５＝２５ になります。 また，２3ならば，２を３回かけるという意味で，２×２×２＝８ になります。 性質１４
Ｆn2 − Ｆn-22 ＝ Ｆ2n-2
性質１５
Ｆn2 ＋ Ｆn+12 ＝ Ｆ2n+1
性質１６
Ｆn+12 − Ｆn2 ＝ Ｆn-1 × Ｆn+2
性質１７
n が奇数のとき，Ｆ1 × Ｆ2 ＋ Ｆ2 × Ｆ3 ＋ … ＋ Ｆn × Ｆn+1 ＝ Ｆn+12
性質１８
n が偶数のとき，Ｆ1 × Ｆ2 ＋ Ｆ2 × Ｆ3 ＋ … ＋ Ｆn × Ｆn+1 ＝ Ｆn+12 − １
性質１９
Ｆn+13 ＋ Ｆn3 − Ｆn-13 ＝ Ｆ3n
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| リュカ数列 −フィボナッチ数列のなかま(1)− | ||||||||||
| フィボナッチ数列は，"１，１，…"から始まりましたが， リュカ数列は，"１，３，…"から始まります。 「前の２つの数を加えると次の数になる」というきまりは，フィボナッチ数列と同じです。 １，３，４，７，１１，１８，２９，４７，…
１００番目までのリュカ数列は，次のようになります。
１００番目までのリュカ数列 ←クリックしてください。
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| トリボナッチ数列 −フィボナッチ数列のなかま(2)− | ||||||||||
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フィボナッチ数列は，「前の２つの数を加えると次の数になる」というきまりでした。 このきまりを，「前の３つの数を加えると次の数になる」というきまりに変更したのが，「トリボナッチ数列」です。 ただし，はじめの３個の数を，"１，１，２"とします。 １，１，２，４，７，１３，２４，４４，８１，…
１００番目までのトリボナッチ数列は，次のようになります。
１００番目までのトリボナッチ数列 ←クリックしてください。
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| ペラン数列 −フィボナッチ数列のなかま(3)− | ||||||||||
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ペラン数列は，"０，２，３"から始まります。 ０，２，３，
フィボナッチ数列ならば，４番目の数は，２番目と３番目の数を加えて求めますが，ペラン数列の場合は，１番目と２番目の数を加えます。０＋２＝２です。 ０，２，３，２，
５番目の数は，２番目と３番目の数を加えます。２＋３＝５です。
０，２，３，２，５，
６番目の数は，３＋２＝５です。
０，２，３，２，５，５，
７番目の数は，２＋５＝７です。
０，２，３，２，５，５，７，
このようにしてできる数列が，「ペラン数列」です。 ０，２，３，２，５，５，７，１０，１２，１７，…
１００番目までのペラン数列は，次のようになります。
１００番目までのペラン数列 ←クリックしてください。
ところで，ペラン数列には，ものすごい性質があります。 ← クリックしてください。
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| もっとフィボナッチ数列をキワめる | ||||||||||
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・フィボナッチ協会という，フィボナッチ数列を日夜研究している協会があります。 ・その協会では，フィボナッチ・クォータリーという雑誌を出しています。 日本では，次のような本が出されています。
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| フィボナッチ数列の中学入試問題 | ||||||||||
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フィボナッチ数列は，中学入試でもよく出題されます。 ちょっと見ただけでは，フィボナッチ数列だとは思えない問題もあります。 フィボナッチ数列の中学入試問題編・問題１(2003東京学芸大付竹早中)から，しっかり練習していきましょう。
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