ペラン数列のものすごい性質

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　ペラン数列とは

　ペラン数列は，"０，２，３"から始まります。

０，２，３，

　４番目の数は，１番目と２番目の数を加えて求めます。
　０＋２＝２です。

０，２，３，２，

　５番目の数は，２番目と３番目の数を加えて求めます。
　２＋３＝５です。

０，２，３，２，５，

　６番目の数は，３＋２＝５です。

０，２，３，２，５，５，

　７番目の数は，２＋５＝７です。

０，２，３，２，５，５，７

　このようにしてできる数列が，ペラン数列です。

０，２，３，２，５，５，７，１０，１２，１７，２２，２９，３９，５１，６８，９０，１１９，…

　何番目のペラン数が何なのかをはっきりさせるために，下のような表にまとめておきます。(表は２段になっています)

番目	１	２	３	４	５	６	７	８	９	１０
ペラン数	０	２	３	２	５	５	７	１０	１２	１７

番目	１１	１２	１３	１４	１５	１６	１７	１８	１９	２０
ペラン数	２２	２９	３９	５１	６８	９０	１１９	１５８	２０９	２７７

　素数とは

　とつぜんですが，６は，どんな数で割り切ることができるでしょうか。
　６÷１＝６　　→　割り切れる。
　６÷２＝３　　→　割り切れる。
　６÷３＝２　　→　割り切れる。
　６÷４＝１.５ →　割り切れない。
　６÷５＝１.２ →　割り切れない。
　６÷６＝１　　→　割り切れる。
　このように，６は，１，２，３，６で割り切ることができます。
　１，２，３，６のように，６を割り切ることのできる数を，「６の約数」といいます。
　たとえば，１０の約数は，１，２，５，１０です。
　７の約数は，１と７だけです。　７のように，１と自分自身の他には約数を持たないような数を，「素数」といいます。
　たとえば１１は，１と１１しか約数を持たないので，素数です。
　９は，１と９の他に，３という約数も持っているので，素数ではありません。
　１は素数には入れないきまりになっています。
　１から２０までの素数をすべて書くと，次のようになります。　

２，３，５，７，１１，１３，１７，１９，…

　素数かどうかの判定は，以下の空欄に数を入力して，判定ボタンを押せば教えてくれます。　結果→

　ペラン数列のものすごい性質

　いよいよ，ペラン数列のものすごい性質を説明するときがきました。
　ペラン数列とは，次のような数列でした。

番目	１	２	３	４	５	６	７	８	９	１０
ペラン数	０	２	３	２	５	５	７	１０	１２	１７

番目	１１	１２	１３	１４	１５	１６	１７	１８	１９	２０
ペラン数	２２	２９	３９	５１	６８	９０	１１９	１５８	２０９	２７７

　この数列の「番目」が，素数なら○，素数でないなら×を書き込むことにします。

番目	１	２	３	４	５	６	７	８	９	１０
ペラン数	０	２	３	２	５	５	７	１０	１２	１７
番目が素数か	×	○	○	×	○	×	○	×	×	×

番目	１１	１２	１３	１４	１５	１６	１７	１８	１９	２０
ペラン数	２２	２９	３９	５１	６８	９０	１１９	１５８	２０９	２７７
番目が素数か	○	×	○	×	×	×	○	×	○	×

　次に，「ペラン数」が，「番目」で割り切れるなら○，割り切れないなら×を書き込むことにします。
　たとえば１３番目のペラン数は３９ですが，３９は１３で割り切れるので○になります。

番目	１	２	３	４	５	６	７	８	９	１０
ペラン数	０	２	３	２	５	５	７	１０	１２	１７
番目が素数か	×	○	○	×	○	×	○	×	×	×
ペラン数 ÷番目	○	○	○	×	○	×	○	×	×	×

番目	１１	１２	１３	１４	１５	１６	１７	１８	１９	２０
ペラン数	２２	２９	３９	５１	６８	９０	１１９	１５８	２０９	２７７
番目が素数か	○	×	○	×	×	×	○	×	○	×
ペラン数 ÷番目	○	×	○	×	×	×	○	×	○	×

　すると，な，なんと！！　(１番目を除いて)見事に，○と×が一致していますね！！
　２０番目までなら偶然の一致も考えられます。そこで，１０００番目までやってみました。
　その結果が，次の表です。

　　１０００番目までのペラン数列の表　←　クリックしてください。

　なにやらとんでもない表ができてしまいましたが，とにかく○と×は一致しています。
　ということは，

　　Ｎ番目のペラン数がＮで割り切れたら，Ｎは素数である！

　ということになり，Ｎが素数かどうかの判定が，ペラン数によってできるという結論になってしまいます。が…
　…しかし実際は，○と×は一致しないのです。残念でした。
　確かに１０００番目までなら一致しますが，もっと大きい数だと一致くなるのです。
　JavaScriptで多倍長計算のプログラムを作って計算したところ，３２７７１番目で，一致しないことがわかりました。
　３２７７１は素数です。３２７７１番目のペラン数は，
ペラン数列

　という，超特大の数です。ちょうど４０００ケタあります。
　この数を，３２７７１でわると，残念ながら割り切れず，あまりが１２８８３になります。　ペラン数って，何とも不思議な数ですね。