問題１０(2001神戸女学院中)

解答　(1)　１７通り　　(2)　１３通り

解説

(1)

　赤を１，白を２，青を３とします。
　すると，１の次は必ず２，２の次は必ず３を並べることになります。
　でも，３の次は１でも，２でも，３でも構わないわけです。

　１個だけ並べるときは，「１」「２」「３」の３通りです。
　２個並べるときは，「１２」「２３」「３１」「３２」「３３」の５通りです。
　３個並べるときは，「１２３」「２３１」「２３２」「２３３」「３１２」「３２３」「３３１」「３３２」「３３３」の，９通りです。
　４個並べるときは，次のように場合分けして考えます。
　１から始まる場合…
　　「１？？？」となりますが，１の次は２，２の次は３と決まっているので，「１２３？」となります。結局，最後の１個を何にするかということになり，１個並べるときの場合の数である３通りになります。
　２から始まる場合…
　　「２？？？」となりますが，２の次は３と決まっているので，「２３？？」となります。結局，うしろの２個を何にするかということになり，２個並べるときの場合の数である５通りになります。
　３から始まる場合…
　　「３？？？」となります。あとの３枚の並べ方を考えるので，９通りになります。
　よって，４個並べる場合は，３＋５＋９＝１７(通り)になります。

　これは，トリボナッチ数列になっています。

(2)

　「１？？？？？？？１」となりますが，１の次は２，２の次は３と決まっているので，
　「１２３？？？？？１」となります。
　また，最後の１のすぐ前は，１や２ではいけません。ですから，
　「１２３？？？？３１」となります。
　そこで，「１２３アイウエ３１」として，ア～エの並べ方について，考えてみましょう。
　ア～エの４個の並べ方は，(1)により１７通りのはずです。
　しかし，エは１ではいけません。よって，１７通りから，エが１になる場合を取り除く必要があります。
　エが１になる場合，ウは３ですから，

　(ア・イ・ウ・エ)＝(１・２・３・１)，(２・３・３・１)，(３・２・３・１)，(３・３・３・１)

　以上４通りあります。
　よって答えは，１７－４＝１３(通り) になります。