フィボナッチ数列の性質１
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性質１
Ｆ1 ＋ Ｆ2 ＋ … ＋ Ｆn ＝ Ｆn+2 − 1
フィボナッチ数列の定義より，
Ｆ1 ＝ Ｆ2
Ｆ1 ＋ Ｆ2 ＝ Ｆ3
Ｆ2 ＋ Ｆ3 ＝ Ｆ4
Ｆ3 ＋ Ｆ4 ＝ Ｆ5
……………
Ｆn ＋ Ｆn+1 ＝ Ｆn+2
以上の式を辺々加える。
すると，（Ｆ1 ＋ Ｆ2 ＋ … ＋ Ｆn）＋ （Ｆ1 ＋ Ｆ2 ＋ … ＋ Ｆn＋ Ｆn+1） ＝ （Ｆ2 ＋ … ＋ Ｆn＋ Ｆn+1）＋ Ｆn+2
左辺の Ｆ1 を右辺に移項すると，
（Ｆ1 ＋ Ｆ2 ＋ … ＋ Ｆn）＋ （Ｆ2 ＋ … ＋ Ｆn＋ Ｆn+1） ＝ （Ｆ2 ＋ … ＋ Ｆn＋ Ｆn+1）＋ Ｆn+2 − Ｆ1
フィボナッチ数列の定義より，Ｆ1 ＝ １ だから，
（Ｆ1 ＋ Ｆ2 ＋ … ＋ Ｆn）＋ （Ｆ2 ＋ … ＋ Ｆn＋ Ｆn+1） ＝ （Ｆ2 ＋ … ＋ Ｆn＋ Ｆn+1）＋ Ｆn+2 − １
両辺から（Ｆ2 ＋ … ＋ Ｆn＋ Ｆn+1）を削除すると，
Ｆ1 ＋ Ｆ2 ＋ … ＋ Ｆn＝ Ｆn+2 − １
（証明終わり）
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