フィボナッチ数列の性質10

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 性質10   Fn が Fm で割り切れるならば,nはmで割り切れる。
 ただし,n > 1, m > 1 とします。
 はじめに,次の補題3を利用します。
 補題3   a が b で割り切れるとき,a と b の最大公約数は b である。
 いま,「Fn が Fm で割り切れる」となっていました。
 すると,補題3により,Fn と Fm の最大公約数は Fm です。
 さらに,次の性質9を利用します。
 性質9   FmとFnの最大公約数 = Fmとnの最大公約数
 すると,Fmとnの最大公約数 = Fm となります。
 n > 1, m > 1 なら,mとnの最大公約数 = m です。
 このことから,m は n の約数であることがわかります。
 よって,n は m で割り切れ,性質10が証明されました。
(証明終わり)  
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