フィボナッチ数列の性質14

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 性質14   Fn2 − Fn-22 = F2n-2
 証明には,性質6「フィボナッチ数列の加法定理」を利用します。
 性質6   Fn+m = Fm × Fn+1 + Fm-1 × Fn
 この「フィボナッチ数列の加法定理」において,n と m の記号を取り替えておきましょう。

 Fm+n = Fn × Fm+1 + Fn-1 × Fm

 さらに,m のところに n-2 を代入します。

 Fn-2+n = Fn × Fn-2+1 + Fn-1 × Fn-2

 整理すると,

 F2n-2
=Fn × Fn-1 + Fn-1 × Fn-2
=Fn × (Fn − Fn-2) + (Fn + Fn-2) × Fn-2  (∵Fn = Fn-1 + Fn-2
=Fn × Fn − Fn × Fn-2 + Fn× Fn-2 − Fn-2 × Fn-2
=Fn × Fn − Fn-2 × Fn-2
=Fn2 − Fn-22
(証明終わり)

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