フィボナッチ数列の性質１８

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　性質１８　　n が偶数のとき，Ｆ₁ × Ｆ₂ ＋Ｆ₂ × Ｆ₃ ＋ … ＋Ｆ_n × Ｆ_n+1 ＝Ｆ_n+1² －１

　n は偶数なので，n = 2m と表せます。すると，性質１８は次のようになります。

　性質１８（改訂版）　　n が偶数のとき，Ｆ₁ × Ｆ₂ ＋Ｆ₂ × Ｆ₃ ＋ … ＋Ｆ_2m × Ｆ_2m+1 ＝Ｆ_2m+1² －１

　この性質を，m に関する数学的帰納法で証明します。

　m = 1 のとき，性質１８の左辺＝Ｆ₁ × Ｆ₂ ＋Ｆ₂ × Ｆ₃ ＝１×１＋１×２＝３です。性質１８の右辺＝Ｆ₃² －１＝２² －１＝３です。よって，性質１８（改訂版）は成り立ちます。

　m = k のとき，性質１８が成り立つと仮定します。つまり，

　Ｆ₁ × Ｆ₂ ＋Ｆ₂ × Ｆ₃ ＋ … ＋Ｆ_2k × Ｆ_2k+1 ＝Ｆ_2k+1² －１
を仮定するのです。すると，m = k + 1 のとき，
　性質１８の左辺
＝Ｆ₁ × Ｆ₂ ＋Ｆ₂ × Ｆ₃ ＋ … ＋Ｆ_2k × Ｆ_2k+1 ＋Ｆ_2k+1 × Ｆ_2k+2 ＋Ｆ_2k+2 × Ｆ_2k+3
＝Ｆ_2k+1² －１＋Ｆ_2k+1 × Ｆ_2k+2 ＋Ｆ_2k+2 × Ｆ_2k+3　　（∵仮定による）
＝Ｆ_2k+1² ＋Ｆ_2k+1 × Ｆ_2k+2 ＋Ｆ_2k+2 × Ｆ_2k+3 －１　　（∵並び方を変えただけ）
＝Ｆ_2k+1 × （Ｆ_2k+1 ＋Ｆ_2k+2）＋Ｆ_2k+2 × Ｆ_2k+3 －１
＝Ｆ_2k+1 × Ｆ_2k+3 ＋Ｆ_2k+2 × Ｆ_2k+3 －１　　（∵フィボナッチ数列の定義による）
＝（Ｆ_2k+1 ＋Ｆ_2k+2）× Ｆ_2k+3 －１
＝Ｆ_2k+3 × Ｆ_2k+3 －１　　（∵フィボナッチ数列の定義による）
＝Ｆ_2k+3² －１
＝性質１８の右辺

　よって，m = k+1 のときにも，性質１８が成り立ちます。
　したがって，数学的帰納法により，性質１８が成り立つことが証明されました。
（証明終わり）