フィボナッチ数列の性質６

　数学的帰納法で証明します。

　n = 1 のとき，
性質６の左辺 ＝ Ｆ_1+m
性質６の右辺 ＝ Ｆ_m×Ｆ₂ ＋ Ｆ_m-1 × Ｆ₁ ＝ Ｆ_m × １ ＋ Ｆ_m-1 × １ ＝ Ｆ_m ＋ Ｆ_m-1 ＝ Ｆ_m+1

　よって，n = 1 のとき，性質６は成り立っています。

　n = 2 のとき，
性質６の左辺 ＝ Ｆ_2+m
性質６の右辺 ＝ Ｆ_m×Ｆ₃ ＋ Ｆ_m-1 × Ｆ₂ ＝ Ｆ_m × ２ ＋ Ｆ_m-1 × １ ＝ Ｆ_m ＋ （ Ｆ_m ＋ Ｆ_m-1 ） ＝ Ｆ_m ＋ Ｆ_m+1 ＝ Ｆ_m+2

　よって，n = 2 のときも，性質６は成り立っています。

　次に，n = k のときに，性質６が成り立っていると仮定します。
　つまり，
　Ｆ_k+m ＝ Ｆ_m × Ｆ_k+1 ＋ Ｆ_m-1 × Ｆ_k　を仮定します。

　また，n = k+1 のときにも，性質６が成り立っていると仮定します。
　つまり，
　Ｆ_k+1+m ＝ Ｆ_m × Ｆ_k+2 ＋ Ｆ_m-1 × Ｆ_k+1　も仮定します。

　すると，n = k+2 のとき，
　性質６の左辺
＝Ｆ_k+2+m
　性質６の右辺
＝Ｆ_m × Ｆ_k+3 ＋ Ｆ_m-1 × Ｆ_k+2
＝Ｆ_m × （ Ｆ_k+2 ＋ Ｆ_k+1 ） ＋ Ｆ_m-1 × （ Ｆ_k+1 ＋ Ｆ_k ）　　（∵フィボナッチ数列の定義）
＝Ｆ_m × Ｆ_k+2 ＋ Ｆ_m × Ｆ_k+1 ＋ Ｆ_m-1 × Ｆ_k+1 ＋ Ｆ_m-1 × Ｆ_k ）　　（∵分配法則）
＝（ Ｆ_m × Ｆ_k+2 ＋ Ｆ_m-1 × Ｆ_k+1 ） ＋ （ Ｆ_m × Ｆ_k+1 ＋ Ｆ_m-1 × Ｆ_k ）　　（∵交換法則）
＝Ｆ_k+1+m ＋ Ｆ_k+m　　（∵仮定）
＝Ｆ_k+2+m　　（∵フィボナッチ数列の定義）

　よって，n = k のときの性質６と，n = k+1 のときの性質６を仮定すれば，n = k+2 のときの性質６が成り立ちます。

　したがって，数学的帰納法により，性質６は証明されました。
（証明終わり）