n を m で割ったときの商を q とします。
すると,性質7は次のようになります。
q = k のとき,つまり,n = km のとき,FkmはFmで割り切れると仮定します。つまり,Fkm = d × Fm となる整数 d があったとします。
すると,q = k+1 のとき,つまり,n = (k+1)m = m+km のとき,Fm+kmはFmで割り切れることが言えればよいのですが,
Fm+km
= Fkm × Fm+1 + Fkm-1 × Fm (∵性質6)
= d × Fm × Fm+1 + Fkm-1 × Fm (∵仮定による)
= Fm × ( d × Fm+1 + Fkm-1 )
よって,Fm+km も Fm で割り切れることになります。
したがって,数学的帰納法により,性質7は証明されました。
(証明終わり)