フィボナッチ数列の性質7

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 性質7   nがmで割り切れるならば,FnはFmで割り切れる
※ただし,n は 2以上であるものとします。

 n を m で割ったときの商を q とします。
 すると,性質7は次のようになります。

 性質7   n = qm ならば,FnはFmで割り切れる
 q に関する数学的帰納法で証明することにします。
 q = 1 のとき,つまり,n = m のとき,FnはFnで割り切れるのは当然なので,成り立ちます。

 q = k のとき,つまり,n = km のとき,FkmはFmで割り切れると仮定します。つまり,Fkm = d × Fm となる整数 d があったとします。
 すると,q = k+1 のとき,つまり,n = (k+1)m = m+km のとき,Fm+kmはFmで割り切れることが言えればよいのですが,

 Fm+km
= Fkm × Fm+1 + Fkm-1 × Fm  (∵性質6
= d × Fm × Fm+1 + Fkm-1 × Fm  (∵仮定による)
= Fm × ( d × Fm+1 + Fkm-1

 よって,Fm+km も Fm で割り切れることになります。

 したがって,数学的帰納法により,性質7は証明されました。

(証明終わり)

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