ピックの定理を，以下の順で証明していきます。

１．長方形において，ピックの定理は成り立つ。

２．直角三角形において，ピックの定理は成り立つ。

３．底辺が水平な三角形において，ピックの定理は成り立つ。

４．どんな三角形でも，ピックの定理は成り立つ。

５．どんな図形でも，ピックの定理は成り立つ。

　ピックの定理　 面積 ＝ まわりの点の数 ÷ ２ ＋ 内部の点の数 − １

　長方形においてピックの定理が成り立つことを，以下の順で証明していきます。

(1)　まわりの点の数÷２を表す図を作成する。

(2)　内部の点の数を表す図を作成する。

(3)　長方形において，ピックの定理は成り立つ。

　すると，まわりの点の数÷２　は，
　たて＋横　になります。

　たてというのは，たて×１と同じことですから，右の図のように表すことができます。
　図の，斜線部分の長方形です。

　横というのは，１×横と同じことですから，右の図のように表すことができます。
　図の，斜線部分の長方形です。

　まわりの点の数÷２　は，たて＋横　のことですから，次のように表せることがわかりました。

　たてには５個，横には７個の点があります。

　たての点の数は，(たて−１) となります。

　(※植木算において，両端の木を数えないとは，１を引くことを思い出してください。)

　同じようにして，横の点の数は，(横−１) となります。

　よって，内部の点の数は，(たて−１)×(横−１)　となります。

　図で表すと，次のようになります。

　(2)で，内部の点の数は，次のように表せることがわかりました。

　よって，まわりの点の数÷２＋内部の点の数は，次のように表すことができます。

　重ねると，右の図のようになります。
　右下の部分が，重なっていることがわかりますね？
　重なっている部分は，１×１＝１　ですから，１を引けば，長方形の面積になります。

　ですから，まわりの点の数÷２＋内部の点の数−１　が，長方形の面積を表すことになります。
　これで，長方形においては，ピックの定理が成り立つことがわかりました。

　ピックの定理　 面積 ＝ まわりの点の数 ÷ ２ ＋ 内部の点の数 − １

　直角三角形においてピックの定理が成り立つことを，以下の順で証明していきます。

(1)　直角三角形の面積を表す式を作成する。

(2)　直角三角形のまわりの点の数を表す式を作成する。

(3)　直角三角形において，ピックの定理は成り立つ。

　ピックの定理　 面積 ＝ まわりの点の数 ÷ ２ ＋ 内部の点の数 − １

　ところで，長方形においては，まわりの点の数÷２　は，たて＋横　のことでしたから， 長方形の面積は，次のように表すことができます。

　長方形の面積 ＝ たて ＋ 横 ＋ 内部の点の数 − １

　ここで，長方形を対角線によって２つに分け，
　それぞれの内部の点の数を内とし，
　対角線上にある点の数（両端をふくまず）を対とすると，
　長方形の内部の点の数は，対＋内×２　となります。
　長方形における面積の式を，次のように変えてもよいことがわかりました。

　長方形の面積 ＝ たて ＋ 横 ＋ 対 ＋ 内 × ２ − １

　長方形を，対角線によって２等分すると，直角三角形ができますから，
　右の図のような直角三角形では，
次の式が成り立つことがわかりました。

　直角三角形の面積 ＝（ たて ＋ 横 ＋ 対 ＋ 内 × ２ − １）÷２

　今後の都合により，さらに次のように式を変更します。
　変更しても同じ意味であることを，よく見くらべて納得しましょう。

　直角三角形の面積 ＝（ たて ＋ 横 ＋ 対 ＋ １ ＋ 内 × ２ − ２）÷２

　この点の数と，対角線上の点の数を合計すると，直角三角形のまわりの点の数になりますから，（ちょっとたし算の順番を変更して，）

　直角三角形のまわりの点の数 ＝ たて ＋ 横 ＋ 対 ＋ １

　直角三角形の面積 ＝（ たて ＋ 横 ＋ 対 ＋ １ ＋ 内 × ２ − ２）÷２

　(2)で，直角三角形のまわりの点の数を表す式を作成しました。

　直角三角形のまわりの点の数 ＝ たて ＋ 横 ＋ 対 ＋ １

　よく見くらべてみて下さい。

　どうですか？たて＋横＋対＋１の部分が共通であることがわかりますね。

　よって，直角三角形の面積の式は，次のように変更することができます。

　直角三角形の面積 ＝（ まわりの点の数 ＋ 内 × ２ − ２）÷２

　この式をよく見ると，カッコの中の　内 × ２ − ２　の部分は，あとで÷２をするのですから，次のように変更しても，同じ意味になります。

　直角三角形の面積 ＝ まわりの点の数 ÷ ２ ＋ 内 − １

　この式は，ピックの定理そのものですね。

　ピックの定理　 面積 ＝ まわりの点の数 ÷ ２ ＋ 内部の点の数 − １

　これで，直角三角形においては，ピックの定理が成り立つことがわかりました。

　ピックの定理　 面積 ＝ まわりの点の数 ÷ ２ ＋ 内部の点の数 − １

　底辺が水平な三角形においてピックの定理が成り立つことを，以下の順で証明していきます。

(1)　底辺が水平な三角形の面積を表す式を作成する。

(2)　底辺が水平な三角形のまわりの点の数を表す式を作成する。

(3)　底辺が水平な三角形において，ピックの定理は成り立つ。

　底辺が水平な三角形は，直角三角形２つに分けることができます。

　直角三角形においては，ピックの定理が成り立つことが，すでにわかっています。

　ピックの定理　 面積 ＝ まわりの点の数 ÷ ２ ＋ 内部の点の数 − １

　右の図のように，それぞれの直角三角形のちょう点に赤い印をつけ，
　辺上の点の数（両端をふくまない）を，それぞれア〜オとし，
　直角三角形の内部の点の数を，それぞれ内₁，内₂とします。

　左側の直角三角形に，ピックの定理を適用します。

　左側の直角三角形の面積＝（ア＋イ＋ウ＋３）÷２＋内₁−１

　右側の直角三角形に，ピックの定理を適用します。

　右側の直角三角形の面積＝（ウ＋エ＋オ＋３）÷２＋内₂−１

　左側と右側の直角三角形の和が，全体の面積になりますから，

　底辺が水平な三角形の面積
＝（ア＋イ＋ウ＋３）÷２＋内₁−１＋（ウ＋エ＋オ＋３）÷２＋内₂−１
＝（ア＋イ＋ウ＋３＋ウ＋エ＋オ＋３）÷２＋内₁＋内₂−１−１
＝（ア＋イ＋エ＋オ＋６＋ウ×２）÷２＋内₁＋内₂−１−１

　今後の都合により，さらに次のように式を変更します。
　変更しても同じ意味であることを，よく見くらべて納得しましょう。

　底辺が水平な三角形の面積
＝（ア＋イ＋エ＋オ＋４＋ウ×２＋２）÷２＋内₁＋内₂−１−１

　底辺が水平な三角形の面積
＝（ア＋イ＋エ＋オ＋４＋ウ×２＋２）÷２＋内₁＋内₂−１−１

　(2)で，底辺が水平な三角形のまわりの点の数を表す式を作成しました。

　まわりの点の数＝ア＋イ＋エ＋オ＋４

　よく見くらべると，ア＋イ＋エ＋オ＋４の部分が共通であることがわかります。

　よって，底辺が水平な三角形の面積の式は，次のように変更することができます。

　底辺が水平な三角形の面積＝（まわりの点の数＋ウ×２＋２）÷２＋内₁＋内₂−１−１

　この式をよく見ると，カッコの中の　ウ×２＋２　の部分は，あとで÷２をするのですから，次のように変更しても，同じ意味になります。

　底辺が水平な三角形の面積＝まわりの点の数÷２＋ウ＋１＋内₁＋内₂−１−１

　この式の，＋１　の部分と　−１　の部分は打ち消しあうので，

　底辺が水平な三角形の面積＝まわりの点の数÷２＋ウ＋内₁＋内₂−１

　さらに，ウ＋内₁＋内₂　の部分は，三角形の内部の点の数を表しています。

　底辺が水平な三角形の面積＝まわりの点の数÷２＋内部の点の数−１

　この式は，ピックの定理そのものです。

　ピックの定理　 面積 ＝ まわりの点の数 ÷ ２ ＋ 内部の点の数 − １

　これで，底辺が水平な三角形においては，ピックの定理が成り立つことがわかりました。

　ピックの定理　 面積 ＝ まわりの点の数 ÷ ２ ＋ 内部の点の数 − １

　どんな三角形でもピックの定理が成り立つことを，以下の順で証明していきます。

(1)　三角形にぴったりはまる長方形を描く。

(2)　取り除く三角形の面積の和を表す式を作成する。

(3)　ぴったりはまる長方形の面積を表す式を作成する。

(4)　三角形の面積を表す式を作成する。

(5)　どんな三角形でも，ピックの定理は成り立つ。

　また，右の図のような三角形の場合にも，底辺が水平な三角形と同じように，ピックの定理が成り立つことは理解できると思います。
　この三角形を，（本当は名前がついていませんが）底辺垂直三角形，と名付けることにします。

　ではいよいよ，右の図のような（ごくふつうの）三角形について，考えてみましょう。
（三角形の形がちがっていても，考え方は同じです。）

　右の図のように，三角形にぴったりはまる長方形を描き，

　長方形から，いらない部分の三角形を取り除けば，三角形の面積を求めることができます。
　ここで，取り除く部分の三角形は，直角三角形か，底辺が水平な三角形か，底辺垂直三角形かのいずれかであることが理解できると思います。
　ということは，長方形も，取り除く部分も，どれもこれもピックの定理が成り立つとわかっている図形ですね。

　では，取り除かれる三角形の面積の和を表す式を，作成していきましょう。
　右の図のように，取り除かれる三角形を，Ｐ・Ｑ・Ｒとします。
　Ｐの面積＋Ｑの面積＋Ｒの面積
＝（Ｐのまわりの点の数÷２＋Ｐの内部の点の数−１）
　＋（Ｑのまわりの点の数÷２＋Ｑの内部の点の数−１）
　＋（Ｒのまわりの点の数÷２＋Ｒの内部の点の数−１）
＝（Ｐのまわりの点の数＋Ｑのまわりの点の数＋Ｒのまわりの点の数）÷２
　＋（Ｐの内部の点の数＋Ｑの内部の点の数＋Ｒの内部の点の数）−１−１−１
＝（ア＋ク＋オ＋３＋ク＋イ＋カ＋３＋キ＋ウ＋エ＋３）÷２＋（内₁＋内₂＋内₃）−３

＝（ア＋ク＋オ＋ク＋イ＋カ＋キ＋ウ＋エ＋９）÷２＋（内₁＋内₂＋内₃）−３

＝（ア＋ク＋オ＋ク＋イ＋カ＋キ＋ウ＋エ）÷２＋４.５＋（内₁＋内₂＋内₃）−３

＝（ア＋ク＋オ＋ク＋イ＋カ＋キ＋ウ＋エ）÷２＋（内₁＋内₂＋内₃）＋１.５

　長方形の面積
＝まわりの点の数÷２＋内部の点の数−１
＝（ア＋イ＋ウ＋エ＋４）÷２＋（内₁＋内₂＋内₃＋内₄＋オ＋カ＋キ＋ク＋１）−１

＝（ア＋イ＋ウ＋エ＋４）÷２＋内₁＋内₂＋内₃＋内₄＋オ＋カ＋キ＋ク＋１−１

＝（ア＋イ＋ウ＋エ＋４）÷２＋内₁＋内₂＋内₃＋内₄＋オ＋カ＋キ＋ク

＝（ア＋イ＋ウ＋エ）÷２＋内₁＋内₂＋内₃＋内₄＋オ＋カ＋キ＋ク＋２

　今後の都合により，さらに次のように変形します。

　長方形の面積
＝（ア＋イ＋ウ＋エ＋オ＋カ＋キ＋ク＋オ＋カ＋キ＋ク）÷２＋内₁＋内₂＋内₃＋内₄＋２

　（ア＋イ＋ウ＋エ＋オ＋カ＋キ＋ク＋オ＋カ＋キ＋ク）÷２＋内₁＋内₂＋内₃＋内₄＋２

　と表すことができました。

　(2)により，取り除く三角形の面積の和は，

　（ア＋ク＋オ＋ク＋イ＋カ＋キ＋ウ＋エ）÷２＋（内₁＋内₂＋内₃）＋１.５

　と表すことができました。

　三角形の面積を求めるには，長方形の面積から，ＰＱＲの面積の面積の和を引くことになります。

　ということは，

（ア＋イ＋ウ＋エ＋オ＋カ＋キ＋ク＋オ＋カ＋キ＋ク）÷２＋内₁＋内₂＋内₃＋内₄＋２

　から，

（ア＋ク＋オ＋ク＋イ＋カ＋キ＋ウ＋エ）÷２＋（内₁＋内₂＋内₃）＋１.５

　を取り除く，ということです。赤い部分が共通であることに注意してください。

　２−１.５＝０.５　ですから，取り除いたあとは，

　（オ＋カ＋キ）÷２＋内₄＋０.５

　となります。

　(4)により，三角形の面積は，

　（オ＋カ＋キ）÷２＋内₄＋０.５

　と表すことができました。

　ですから，どんな三角形でも，ピックの定理が成り立つことを証明するためには，

　まわりの点の数 ÷ ２ ＋ 内部の点の数 − １　が，
　ターゲットの式　…　（オ＋カ＋キ）÷２＋内₄＋０.５
　となる。

　ということを証明できればよいことになります。

　ところで，三角形のまわりの点の数は，オ＋カ＋キ＋３　です。　

　 　また，内部の点の数は，内₄　です。

　ですから，まわりの点の数 ÷ ２ ＋ 内部の点の数 − １　は，

　(オ＋カ＋キ＋３)÷２＋内₄−１　となります。

　この式で，カッコの中には３という数が入っていますが，
　３÷２＝１.５　ですから，次のようにしても，同じ意味になります。

　(オ＋カ＋キ)÷２＋１.５＋内₄−１　となります。

　１.５−１＝０.５　ですから，次のようになります。

　(オ＋カ＋キ)÷２＋内₄＋０.５　となります。

　この式はまさに，ピックの定理が成り立つために証明したかった，ターゲットの式そのものですね。

　よって，どんな三角形でも，ピックの定理が成り立つことが証明されたわけです。

　ピックの定理　 面積 ＝ まわりの点の数 ÷ ２ ＋ 内部の点の数 − １

　どんな図形でもピックの定理が成り立つことを，以下の順で証明していきます。

(1)　どんな図形も，何個かの三角形に分けることができる。

(2)　ある図形に対してピックの定理が成り立つならば，その図形に三角形をくっつけた図形にも，ピックの定理は成り立つ。

(3)　どんな図形にも，ピックの定理は成り立つ。

　図形Ｐに，右の図のような三角形Ｑをぴったりくっつけるとしましょう。

　どんな三角形でもピックの定理は成り立つのですから，Ｑにもピックの定理は成り立ちます。
　Ｑの面積＝Ｑのまわりの点の数÷２＋Ｑの内部の点の数−１

　すると，ＰとＱの面積の和は，次の式になります。

　ＰとＱの面積の和＝（Ｐのまわりの点の数＋Ｑのまわりの点の数）÷２＋Ｐの内部の点の数＋Ｑの内部の点の数−１−１

　ＰにＱをくっつけた図形をＲとして，

　Ｒのまわりの点の数÷２＋Ｒの内部の点の数−１

　が，ＰとＱの面積の和になったならば，Ｒにもピックの定理が成り立つことになります。

　整理すると， 　　　Ｒのまわりの点の数÷２＋Ｒの内部の点の数−１

　が， ターゲットの式　…　（Ｐのまわりの点の数＋Ｑのまわりの点の数）÷２＋Ｐの内部の点の数＋Ｑの内部の点の数−１−１

　と等しいことを，証明できればよいわけです。 　ところで，Ｒのまわりの点の数は，ＰとＱのまわりの点の数の合計とは，等しくありません。

　というのは，ＰとＱをくっつけることによって，右の図の赤い辺どうしがくっつくことになり，
　赤い辺の両端の２つのちょう点と，図のアアの部分の点の数のぶんだけ，まわりの点の数が少なくなってしまいます。
　よって，

　Ｑのまわりの点の数＝Ｐのまわりの点の数＋Ｑのまわりの点の数−アア−２

　となります。

　また，Ｒの内部の点の数も，ＰとＱの内部の点の数の合計とは，等しくありません。

　というのは，ＰとＱをくっつけることによって，右の図のアの部分も，Ｒの図形の内部になってしまうからです。

　よって，

　Ｑの内部の点の数＝Ｐの内部の点の数＋Ｑの内部の点の数＋ア

　となります。

　よって， 　 　Ｒのまわりの点の数÷２＋Ｒの内部の点の数−１
＝（Ｐのまわりの点の数＋Ｑのまわりの点の数−アア−２）÷２＋Ｐの内部の点の数＋Ｑの内部の点の数＋ア−１
＝（Ｐのまわりの点の数＋Ｑのまわりの点の数）÷２−ア−１＋Ｐの内部の点の数＋Ｑの内部の点の数＋ア−１
＝（Ｐのまわりの点の数＋Ｑのまわりの点の数）÷２＋Ｐの内部の点の数＋Ｑの内部の点の数−１−１

　たしかに，ターゲットの式そのものになりましたね。

　よって，

　ある図形に対してピックの定理が成り立つならば，その図形に三角形をくっつけた図形にも，ピックの定理は成り立つ。

　ということが，証明されたことになります。

　たとえば，次のような図形があったとしましょう。
　この図形は，必ず何個かの三角形に分けることができます。
　どれか１つの三角形に注目しましょう。

　この図形は三角形ですから，ピックの定理は成り立ちます。
　さらに，いま注目している三角形の，すぐとなりの三角形をくっつけるとします。

　はじめの三角形にはピックの定理が成り立ち，すぐとなりの三角形にもピックの定理が成り立つのですから，

　(2)で証明した通り，くっつけたあとの図形にも，ピックの定理は成り立ちます。

　さらに，そのできあがった図形にも，すぐとなりの三角形をくっつけるとします。

　くっつける前の図形にはピックの定理が成り立ち，(2)で証明した通り，くっつけたあとの図形にも，ピックの定理は成り立ちます。

　このようにして，三角形をいくらくっつけていっても，必ずピックの定理は成り立つのです。

　すると，最終的にできあがった図形も，ピックの定理が成り立つことになるのです。