説明よりも何よりも，まず次の問題を解いてみてください。

問題１　　　(2006駒場東邦) 　右の図のような２つの長方形で作られる斜線部分を直線アを軸としてそのまわりに１回転してできる立体の体積は何cm3ですか。 　ただし，円周率は３.１４とします。

　回転してできる立体は，右の図のようになっています。

　半径６cm，高さ８cmの円柱全体から，半径４cm，高さ４cmの円柱を引き，引きすぎたのであとから半径２cm，高さ４cmの円柱を加えることになります。

　６×６×３.１４×８−４×４×３.１４×４＋２×２×３.１４×４
＝(２８８−６４＋１６)×３.１４
＝２４０×３.１４
＝７５３.６(cm³)　…答え

　ところが，パップス・ギュルダンの定理を利用すると，まったく違う解き方で求められるのです。

　この問題では，回転させたい図形は右の斜線部分ですから，その面積は，

　６×８−４×２＝４０(cm²)　です。

　また，重心は右の図のように図形のド真ん中ですから，直線アから３cmのところです。

　よって，重心は右の図のように動き，その長さは，
　３×２×３.１４　で求められます。
　パップス・ギュルダンの定理を利用すると，次のように求められます。

　回転体の体積
＝回転させたい図形の面積×重心が動いた長さ
＝４０×３×２×３.１４
＝２４０×３.１４
＝７５３.６(cm³)　…答え

　みごと，ふつうの解き方と同じ答えになりました。

　少なくとも，答えが合っているかどうかの確かめには使えそうですね。

　次の問題はどうでしょう。

問題２　　　(2006日大第一) 　右の図で，四角形ＡＢＣＤは１辺の長さが５cmのひし形，ＡＥ＝３cm，ＥＤ＝４cmです。四角形ＡＢＣＤを直線�@を軸として１回転させたときにできる立体について，次の問いに答えなさい。ただし，円周率は３.１４とします。 (1)　立体の体積を求めなさい。 (2)　立体の表面積を求めなさい。

　パップス・ギュルダンの定理を使って，求めてみましょう。

(1)　回転させたい図形は，右の図の斜線部分です。
　　斜線部分はひし形ですが，平行四辺形だと考えれば，面積は底辺×高さで求められます。
　　底辺はＡＢなので５cm，高さはＤＥなので４cmです。
　　よって斜線部分の面積は，５×４＝２０(cm²)です。
　また，重心は右の図の対角線が交わった点Ｏです。
　ＤＥは４cmですから，Ｏは軸から２cmはなれています。
　重心の動いた長さは，２×２×３.１４　で求められます。
　パップス・ギュルダンの定理によって，
　回転体の体積
＝回転させたい図形の面積×重心の動いた長さ
＝２０×２×２×３.１４
＝２５１.２(cm³)…答え

(2)　回転体の体積は，次のように考えましたね。

　　　回転体の体積＝回転させたい図形の面積×重心の動いた長さ

　　回転体の表面積は，次のように考えます。

　ちょっと太いのですが，右の図のようなイメージでとらえるのです。
　すると，回転させたい図形の面積というのは，面積ではなく，回転させたい図形のまわりの長さだと考えることができます。
　この図形は，１辺が５cmのひし形ですから，まわりの長さは，

　　５×４＝２０(cm)になります。

　また，重心はやはり，点Ｏにありますから，重心の動いた長さは(1)と同じです。
　重心の動いた長さは，２×２×３.１４　で求められるのでしたね。

　パップス・ギュルダンの定理によって，
　回転体の表面積
＝回転させたい図形のまわりの長さ×重心の動いた長さ
＝２０×２×２×３.１４
＝２５１.２(cm²)…答え

　パップス・ギュルダンの定理を使えば，次の公式も一瞬でわかります。

　この公式を，パップス・ギュルダンの公式を使って導いてみましょう

　右の図のように，軸アのまわりを母線が回転すると，円すいの側面ができ上がります。

　母線の重心は，右の図の点をつけた部分で，軸からのきょりは 半径÷２　となります。 　すると，重心の動いた長さは，
　(半径÷２)×２×３.１４
＝半径×３.１４　となります。

　パップス・ギュルダンの定理によって，母線が回転してできた面の面積(円すいの側面積)は，

　母線の長さ×重心の動いた長さ＝母線の長さ×半径×３.１４

となるのです。

　円すい台の側面積＝線の長さ×重心の動いた長さ＝ア×イ×２×３.１４

となります。